Giáo sư Việt giải bài toán bế tắc 55 năm

GS Phạm Tuấn Huy và cộng sự gây kinh ngạc khi giải quyết nhanh chóng một bài toán đã bế tắc 55 năm, lấy ý tưởng từ bộ môn xiếc tung hứng.

Công trình do anh và nhà toán học Lisa Sauermann đăng tải trên nền tảng lưu trữ trực tuyến arXiv hồi tháng 2, với tiêu đề "On Graham’s rearrangement conjecture" (tạm dịch: Về giả thuyết sắp xếp lại của Graham). Bản chứng minh của hai tác giả dài 27 trang, là bài thứ 4 trong một chuỗi công trình của các nhà toán học, chính thức giải quyết câu hỏi mà nhà toán học nổi tiếng Ronald Graham đặt ra vào năm 1971.

Nội dung câu hỏi là: với một tập hợp ngẫu nhiên gồm các số nguyên khác nhau, không bao gồm số 0, liệu ta có thể luôn sắp xếp chúng sao cho khi lần lượt cộng hai số đầu tiên, rồi ba số đầu, bốn số đầu..., thì mọi "tổng riêng phần" thu được đều khác nhau hay không.

Nói theo ngôn ngữ của bộ môn tung hứng, điều này nghĩa là nếu mỗi quả bóng bay trên không trung trong khoảng thời gian khác nhau, liệu ta luôn có thể tìm ra một thứ tự tung bóng sao cho không có hai quả bóng nào rơi xuống cùng một nhịp, khiến màn trình diễn bị phá hỏng.

Điều Graham muốn biết là câu trả lời liệu vẫn là "có" nếu như các con số tồn tại trong một thế giới hữu hạn, lặp lại sau một số lần đếm nhất định, giống như số in trên mặt đồng hồ. Trong nhiều thập kỷ, không ai có thể chứng minh trực giác của Graham là đúng.

Trước Huy và Sauermann, ba nhà toán học ở Đại học Oxford là Alp Müyesser, Noah Kravitz và Benjamin Bedert, cùng một số cộng sự khác, đã công bố ba bài báo, giải quyết được nhiều trường hợp mà tập hợp các số có kích thước nhỏ và lớn. Tuy nhiên, chưa ai tìm được cách xử lý các tập hợp có kích thước trung bình.

Huy và Sauermann có hứng thú với bài toán này từ tháng 9 năm ngoái, sau một hội nghị ở Đức. Cả hai bắt đầu bằng cách xáo trộn ngẫu nhiên tập hợp các con số và đề ra một quy trình để xử lý những dãy số có tổng bằng 0. Họ dùng một phương pháp đòi hỏi kỹ thuật cao gọi là "chống tập trung" (anti-concentration), từ đó chứng minh tồn tại cách sắp xếp tập hợp các con số thỏa mãn giả thuyết ban đầu.

Phương pháp này phức tạp tới nỗi nhà toán học Noah Kravitz ở Đại học Oxford (Anh), một trong những người từng giải mã một phần giả thuyết này, thừa nhận "chưa đủ can đảm để thực sự bắt tay vào thử nghiệm", theo Quanta Magazine.

Để chứng minh, bộ đôi sử dụng phép phân tích Fourier - một lĩnh vực cho phép biểu diễn các hàm số dưới dạng tổng của các sóng đơn giản - nhằm chứng minh rằng nhìn chung, khi cộng các tập hợp số ngẫu nhiên lại với nhau, không có tổng cụ thể nào có xác suất xuất hiện cao vượt trội. Cuối cùng, công trình của hai nhà toán học đã giải quyết khoảng trống của các bài báo trước, góp phần chứng minh giả thuyết của Graham cho các tập hợp có kích thước bất kỳ.

Các nhà toán học từng nghiên cứu vấn đề này trước đó rất ngạc nhiên khi thấy nó được giải quyết nhanh chóng như vậy.

"Họ có cách tiếp cận hoàn toàn khác biệt", theo Alp Müyesser, nhà toán học tại Đại học Oxford.

Phạm Tuấn Huy sinh năm 1996, hiện làm việc ở Đại học Chicago - trường top 16 thế giới, theo xếp hạng của THE. Trong các nhà toán học người Việt ở Mỹ, Huy có lẽ là trường hợp hiếm hoi trở thành "Full professor" - giáo sư biên chế bậc cao nhất, ở tuổi 30.

Ở Mỹ có ba bậc giáo sư (từ thấp đến cao: Assistant professor, Associate professor, Full professor). Thông thường, các giảng viên mất 10-20 năm để đi tới bậc cuối. Trong khi đó, theo website của CalTech, Huy mới được bổ nhiệm Assistant professor ở trường vào năm 2025, sau hai năm thỉnh giảng.

Thời ở trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia TP HCM, Phạm Tuấn Huy hai lần giành huy chương vàng Olympic Toán quốc tế (IMO) vào năm 2013, 2014. Anh lấy bằng cử nhân Toán học và thạc sĩ Thống kê tại Đại học Stanford; thạc sĩ nghiên cứu cao cấp về Toán tại Đại học Cambridge. Khi đang là nghiên cứu sinh tiến sĩ tại Stanford năm 2023, anh nhận học bổng sau tiến sĩ cho các nhà toán học triển vọng từ Viện Toán học Clay danh giá.

Cộng sự của Huy - Lisa Sauermann, cũng là gương mặt nổi bật ở IMO, với 4 huy chương vàng. Cô 34 tuổi, hiện là giáo sư tại Viện Toán ứng dụng, Đại học Bonn (Đức). Hai nhà toán học đã quen biết nhau một thập kỷ, từ thời cùng học ở Stanford.